Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.

1. Chứng minh: \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AB^2}\)

2. Biết số đo \(\widehat{MAN}=45^o\), CM + CN = 7cm, CM - CN = 1cm. Tính số đo \(\widehat{AMN}=?\)

3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( \(P\in IK,Q\in AK,R\in AI\)). Xác định vị trí điểm O để OP² + OQ² + OR² đạt giá trị nhỏ nhất. 

Cho hình vuông ABCD. Trên BC lấy M, trên CD lấy N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.

a) CM : \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AB^2}\)

b) Biết \(\widehat{MAN}\)= 45⁰, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính số đo góc AMN.

c) Từ diểm O trong tam giác AIK, kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, KA, AI (P, Q, R lần lượt thuộc IK, KA, AI). Xác định vị trí diểm O để OP² + OQ² + OR² đạt GTNN.

Cho hình vuông ABCD (AB=a) , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC . Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K . Gọi I là trung điểm cảu đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E . Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N

1, Tứ giác MNKE là hình gì? Chứng minh

2, Cmr :\(AK^2=KC.KE\)

3, Cmr : Khi điểm M di chuyển trên cạnh Bc thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi

4, Tia AM cắt đường thẳng CD tại G. Cmr : \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AG^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

Bài 1: ABCD là hình chữ nhật có AB//CD, AB=2BC. từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H. Trên HB lấy K sao cho HK=HA. từ K kẻ đường thẳng song song với AH cắt AB tại E. 
a): CM: E là trung điểm AB.
b): Lấy M là trung điểm DE,  tia AM cắt DB tại N, cắt Dc  tại P. TÍnh: \(\frac{S_{AND}}{S_{PMD}}\)?
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy M sao cho BM=2MA. trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ Bx vuông góc với AB, Trên Bx lấy N sao cho BN=\(\frac{1}{2}\)AB. Đường thẳng MC cắt NA tại E, đường thẳng BE cắt AC tại F.
a): CM: AE=AM.
b): H là trung điểm FC. CM: EH=BM.